如果对于不少于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成k各完全平方数的和,求k的最小值

题目

如果对于不少于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成k各完全平方数的和,求k的最小值
由已知3n+1是一个完全平方数,
所以我们就设3n+1=a^2,
显然a^2不是3的倍数,于是a=3k±1,
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2,所以k的最小值是3.
1.为什么a^2不是3的倍数,那么a=3k±1
2为什么n=3k^2±2k
3.“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么?
4.为什么n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是3.

答案

1.3n+1=a^2,a如果是3的倍数,a^2就是3的倍数,左边3n+1不是3 的倍数,左右两边会相等吗?
2.3n+1=9k^2±6k+1,两边都减1,再都除以3得,n=3k^2±2k .
3.此句不明白,如n=8时,3n+1=25,是完全平方数,n+1=9=4+4+1;n=16时,3n+1=49,是完全平方数,而n+1=17=4+4+4+4+1=9
+4+4.k的最小值是8.