在半径为1的⊙O中，弦AB=1，AC=3，求∠BAC的度数．

题目

在半径为1的⊙O中，弦AB=1，AC=

3

，求∠BAC的度数．

答案

如图1，当AC与AB在点A的两旁．
连接OB，作直径AD，连接CD，
在△OAB中，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°；
∵AD是直径，
∴∠C=90°，
∴CD=

AD2−AC2

=1，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=90°；
如图2，当AC与AB在点A的同旁．
同（1）一样，可求得∠OAB=60°，∠OAC=30°，
∴∠BAC=∠OAB-∠OAC=60°-30°=30°．
综上所述：∠BAC的度数为：90°或30°．

分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA=OB=1，AB=1，得到△OAB为等边三角形，则∠OAB=60°，又由CD=1，可得AD=2CD，即可得∠ACD=30°，则可求得∠BAC的度数；当AC与AB在点A的同旁．同理可求答案．

本题考点：垂径定理；特殊角的三角函数值．

考点点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．