等比数列{an}的前n项和为Sn已知对任意的n属于N*点（n,Sn),均在函数Y=bx+r的图像上

题目

等比数列{an}的前n项和为Sn已知对任意的n属于N*点（n,Sn),均在函数Y=bx+r的图像上
（1）求r的值（2）当b=2时,记b=(n+1)/4an,求数列{bn}的前n项和 bx是指b的x次方

答案

b^x是指b的x次方
对任意的n属于N*点（n,Sn),均在函数Y=bx+r的图像上
则n=1,2,3,4时有
S1=a1=b+r
S2=a1+a1*q=b^2+r (q为公比)
S3=a1+a1*q+a1*q^2=b^3+r
S4=a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3=b^4+r
则
S2-S1有a1*q=b(b-1) .1
S3-S2有a1*q^2=b^2(b-1).2
S4-S3有a1*q^3=b^3(b-1).3
则上面的2式比1和3式比2式都有
q=b
代入1式
有a1=b-1
代入S1
有
b-1=b+r
得r=-1
(2)
当b=2时,记b=(n+1)/4an
这里应该是bn=(n+1)/4an吧?!
由(1)且b=2
得Sn=2^n-1
所以
an=Sn-S(n-1)
=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)
=2^n-2^(n-1)
=2^(n-1)*(2-1)
=2^(n-1)
所以
bn=(n+1)/2^(n+1)
即bn=n/2^n (这里是令上面的n+1=n)(这里的bn从1开始,上面的从0开始)
则bn-b(n-1)=n/2^n-(n-1)/2^(n-1)=(2-n)/2^n=1/2^(n-1)-n/2^n=1/2^(n-1)-bn
所以
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)-bn .1
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)-b(n-1) .2
..
..
b2 - b1 =1/2 -b2 .n-1
把上面的n-1个式 左边加左边 右边加右边 并令Hn为bn的前n项和
bn-b1=(1-1/2^(n-1))-(Hn-b1)
整理便得到
Hn=1-(n-2)/2^n(n从1开始)