数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4/1/16 求前N项和Sn!

题目

数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4/1/16 求前N项和Sn!

答案

数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4/1/16 （应该是4*1/16吧?）求前N项和Sn! 观察前四项：分别有1、2、3、4来乘一个数,和项数相等,则：第N项为n 再观察前四项：分别由1/2,1/4,1/8,1/16乘前面那个数,所以我们可以把这些数和项数联系起来 得：1/2^n ( ^ 是乘方,第一项时,n为一,那么这个数是1/2,后面以此类推……) ∴第n项是：an=n*(1/2^n )=n/2^n Sn= 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + …… + n/2^n (每一项的前面一个数：1、2、3、4、……、n成等差数列) (每一项的后面一个数：1/2 、1/4 、1/8 、1/16 、……、 n/2^n成等比数列) 此时：乘一个数：1/2 ∴1/2Sn=1* 1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + …… + n/2^(n+1) 用Sn减去1/2Sn 得：1/2Sn= [ 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + …… + n/2^n] -[ 1* 1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + …… + n/2^(n+1)] 此时观察两项可以消除一些数 减出来得：1/2Sn= 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/2^n - n/2^(n+1) 除最后一项前面的都成等比 ∴1/2Sn= [(1/2)*(1-1/2^n)]/(1-1/2) - n/2^(n+1)=1-1/2^n - n/2^(n+1) ∴Sn=[1-1/2^n - n/2^(n+1)]*2=2 - (2+n)/2^n 如有看不懂的就追问吧,我一直在线
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