已知△ABC,AB边中点为D,E、F分别在AC、BC边上运动,求证:S△DEF≤S△ADE+S△BDF.
题目
已知△ABC,AB边中点为D,E、F分别在AC、BC边上运动,求证:S
△DEF≤S
△ADE+S
△BDF.
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答案
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证明:过点B作BG∥AC,交ED的延长线与点G,连接GF,如图所示.
∵BG∥AC,∴∠GBD=∠EAD.
在△GBD和△EAD中,
.
∴△GBD≌△EAD(ASA),
∴DG=DE,S
△BDG=S
△ADE.
∵DG=DE,∴S
△DGF=S
△DEF.
∵S
△DGF≤S
△BDG+S
△BDF,
∴S
△DEF≤S
△ADE+S
△BDF.
过点B作BG∥AC,交ED的延长线于点G,连接GF,易证△GBD≌△EAD,从而得到DG=DE,S△BDG=S△ADE.由DG=DE可得S△DGF=S△DEF.然后利用S△DGF≤S△BDG+S△BDF就可解决问题.
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