等面积正方形与正五边形的周长之比

题目

等面积正方形与正五边形的周长之比
如题,假设正方形的边长为a,正五边形的边长为L
哪个周长大,具体比值
我想起来了，把正五边行分成以外接圆圆心为顶点的5个等腰三角行，由于多边行内角和是360，所以正无边行的每个内角是360/5=72度，所以等腰三角行的底角为72/2=36度。
只须求等腰三角形的面积。设高为H,则tan36=h/0.5L,H=0.5L*tan36,所以三角行的面积等于0.5*L*H=0.5*L*0.5L*tan36=0.25L^2*tan36*5
用计算器查得tan36=0.7265
2面积相等，即0.25L^2*tan36*5=a^2,所以a^2/L^2=1.25*tan36
周长平方之比(4a)^2/(5L)^2=16/25*1.25*tan36=0.8tan36,0.8*0.7265=0.5812

答案

正方形面积为a^2
正五边形面积为：5*L*L*cot72/2=0.8123L^2=a^2
0.90127L=a
等面积正方形与正五边形的周长之比为
4a/5L=4*0.90127/5=0.721