已知三棱锥的顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心,求证:底面内任意一顶点在其相对的面内的射影也是此侧面三角形的垂心.
题目
已知三棱锥的顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心,求证:底面内任意一顶点在其相对的面内的射影也是此侧面三角形的垂心.
答案
设顶点p,地面为abc,过p的垂足为m.bd为ac高线.
pm交bd于m
ac⊥pm且⊥bd
故ac垂直面pbd
故pd为ac高线
而过d做面pac的垂线必⊥ac
故垂线过面pbd
故垂足在pd(即ac高线）上
如此反复可得证.
举一反三
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