设双曲线x/a-y/b=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过点(a,0),(0,b),已知原点到直线l的距离为根号3/4c,则双曲线的离心率为

题目

设双曲线x/a-y/b=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过点(a,0),(0,b),已知原点到直线l的距离为根号3/4c,则双曲线的离心率为

答案

易得直线l方程为x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0 原点到直线l的距离d=|-ab|/√(a+b)=(√3/4)c 等号两边同平方化简得 3a^4-10a^2b^2+3b^2=0 (3a-b)(a-3b)=0 ∴a=b/3（另一解不满足b>a舍去） ∴e=c/a=(a+b)/a=1+b/a=4 又e>0 ∴...