-∫ud[u/(1+u)]=-u^2/(1+u)+∫u/(1+u)du=-u^2/(1+u) + ∫du -∫1/(1+u)d(u+1) = -u^2/(1+u)+u-ln|u+1|+C

题目

-∫ud[u/(1+u)]=-u^2/(1+u)+∫u/(1+u)du=-u^2/(1+u) + ∫du -∫1/(1+u)d(u+1) = -u^2/(1+u)+u-ln|u+1|+C
求救!特别是第一步到第二步之间!

答案

分部积分法呢,由导数的乘法则：
(AB)' = AB' + BA',两边取积分
AB = ∫ AB' dx + ∫ BA' dx
AB = ∫ AdB + ∫ BdA
∫ BdA = AB - ∫ AdB 或 ∫ BA' dx = AB - ∫ AB' dx
这里,B = u,u = 1/(1 + u)
AB = - u²/(1 + u),A = - u/(1 + u)
之后的∫ u/(1 + u) du
= ∫ [(1 + u) - 1]/(1 + u) du
= ∫ [1 - 1/(1 + u)] du
= ∫ du - ∫ 1/(1 + u) du
= u - ln|u + 1|