设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0．证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．

题目

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+2=0．证明l₁与l₂的交点在椭圆2x²+y²=1上．

答案

证明：由方程组

y=k1x+1 y=k2x-1

解得交点P的坐标（x，y）为

x= 2 k2-k1 y= k2+k1 k2-k1 .

而2x2+y2=2(

2

k2-k1

)2+(

k2+k1

k2-k1

)2=

8+ k 2 2 + k 2 1 +2k1k2

k 2 2 + k 2 1 -2k1k2

=

k 2 1 + k 2 2 +4

k 2 1 + k 2 2 +4

=1．
此即表明交点P（x，y）在椭圆2x²+y²=1上．

将两直线方程联立，求出交点坐标，利用已知条件，将交点坐标代入椭圆方程左侧，若满足方程，则得到证明点在线上．

本题考点：椭圆的标准方程；两条直线的交点坐标．

考点点评：本题考查两条直线的交点坐标、考查通过解两条直线方程构成的方程组求出两条直线的交点的坐标．