椭圆C：三分之X平方加Y方等于一,直线l交椭圆于AB两点、原点到O距离为二分之根三、求AOB面积最大

题目

椭圆C：三分之X平方加Y方等于一,直线l交椭圆于AB两点、原点到O距离为二分之根三、求AOB面积最大
不用求当斜率存在的时候、面积最大吗?

答案

椭圆方程x^2/3+y^2=1
直线与原点距离为定值√3/2,直线与椭圆相交于A,B两点
求△AOB的面积最大值,即相当于求AB距离的最大值
高为定值,即相当于在半径为√3/2的圆上作切线,求切线与椭圆的交点的距离最大值
半圆为√3/2的圆方程为：x^2+y^2=3/4
显然,当切线垂直于x轴时,AB的距离最大,此切线为x=√3/2
将x=√3/2代入椭圆方程,得 (√3/2)^2/3+y^2=1
解得,y=±√3/2,∴AB的最大值为：|AB|=2*√3/2=√3
∴△AOB的最大面积为：S△AOB=1/2*√3/2*√3=3/4