设fx=e^x/(1+ax^2),a为正实数 1,当a=4/3,求fx的极值点 2若fx为r上的单调函数,求a 的范围

题目

设fx=e^x/(1+ax^2),a为正实数 1,当a=4/3,求fx的极值点 2若fx为r上的单调函数,求a 的范围

答案

已知f（x)=e^x/(1+ax^2)
1,当a=4/3时,代入原函数得
f（x)=e^x/(1+4/3x^2)
要求f（x）的极值点就是对原函数求导
即 f（x）’=【e^x(4/3x^2-8/3x+1)】/（1+4/3x^2)^2
令f（x）'=0
即4/3x^2-8/3x+1=1/3（2x-3）（2x-1）=0
得到极值点x1=3/2 x2=1/2
2,f（x）’=【e^x(ax^2-2ax+1)】/（1+ax^2)^2
∵e^x＞0 （1+ax^2)^2＞0
∴要使f（x）为R上的单调函数 取决于ax^2-2ax+1的符号
令g（x）=ax^2-2ax+1
∴g（x）=a（x-1）^2-a+1
当a=0时g（x）=1 即f（x）’=e^x/（1+ax^2)^2＞0
此时f（x）为R上的单调增函数
当a＞0时 只要使-a+1≥0时g（x）恒≥0
∴0＜a≤1
当a＜0时 -a+1恒＞0 不能使g(x)恒＜0
所以此时a不满足条件
综上所得 a 的范围 为 0≤a≤1