已知数列{an}前n项和An=-1/2n2+kn（其中k∈N+），且An的最大值为8；数列{bn}的前n项和Bn=n+2/3bn，且b1=1．（1）确定常数k，并求an；（2）求数列{bn(9-2an

题目

已知数列{a_n}前n项和A_n=-

1

2

答案

（1）∵数列{a_n}前n项和A_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值为8，
又k∈N^*，所以当n=k时A_n取得最大值为

1

2

k2=8，解得k=4，
当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=（-

1

2

n²+4n）-[-

1

2

（n-1）²+4（n-1）]=-n+

9

2

，
当n=1时，a₁=

7

2

，适合上式，
综上，a_n=-n+

9

2

；
（2）b₁=1．
n＞1时，b_n=B_n-B_n-1=

n+2

3

b_n-

n+1

3

b_n，即b_n=

n+1

n-1

b_n-1，
利用叠乘法可得b_n=

n(n+1)

2

，
∴

bn

(9-2an)4n

=

n+1

4n+1

，
∴S_n=

2

42

+

3

43

+…+

n+1

4n+1

，
∴4S_n=

2

4

+

3

42

+…+

n+1

4n

，
两式相减，整理可得S_n=

7

36

-

3n+7

36

•

1

4n

．