求下列函数的最大值,最小值,并且求使函数取得最大,最小值的x的集合：1.y=sinx-√3cosx 2.y=sinx+cosx

题目

求下列函数的最大值,最小值,并且求使函数取得最大,最小值的x的集合：1.y=sinx-√3cosx 2.y=sinx+cosx

答案

三角函数sinα的值域是[-1,1]
1.y=sinx-√3cosx =2[(1/2)sinx - (√3/2)cosx] =2sin(x - π/3)
函数的最大值是2 ,函数的最小值是-2
∵当三角函数sinα=1时,α=2kπ + π/2 ,(k∈Z)
∴当函数y取最大值2时,x - π/3 = 2kπ + π/2 ,(k∈Z)
即：当x=2kπ + 5π/6 ,(k∈Z)时,ymax=2
∵当三角函数sinα=-1时,α=2kπ - π/2 ,(k∈Z)
∴当函数y取最小值-2时,x - π/3 = 2kπ - π/2 ,(k∈Z)
即：当x=2kπ - π/6 ,(k∈Z)时,ymin=-2
同理：2.y=sinx+cosx = √2[(√2/2)sinx + (√2/2)cosx]= √2sin(x + π/4)
函数的最大值是√2 ,函数的最小值是-√2
当x=2kπ + π/4 ,(k∈Z)时,ymax=√2
当x=2kπ - 3π/4 ,(k∈Z)时,ymin=-√2