如图，已知矩形纸片ABCD，AB=1.5，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（F≠D）． （1）如果△AGF∽△DEF，求FG的长； （2）如果以

题目

如图，已知矩形纸片ABCD，AB=1.5，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（F≠D）．

（1）如果△AGF∽△DEF，求FG的长；
（2）如果以EG为直径的圆与直线BC相切，求tan∠FGA．

答案

（1）∵△AGF∽△DEF，
∴∠AFG=∠DFE，
又由折叠知∠AFG=∠EFG，
∴∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，
∴DF＝

1

2

EF＝

1

2

AF，
∴AF＝

2

3

AD＝

2

3

，FG＝2AF＝

4

3

；
（2）设AG=EG=x，EG的中点为M，过M作MN⊥BC，垂足为N
依题意MN＝

1

2

EG＝

1

2

x，MN是中位线，
∴EC=2MN-BG=2x-1.5，
由EG²=BC²+（EC-BG）²，即x²=1+（3x-3）²，
解得x=1或x＝

5

4

，
当x=1时，AG=EG=1，ADEG是正方形，折痕DG=DG，与已知不符；
当AG＝x＝

5

4

时，EC=2x-1.5=1，DE=CD-EC=1.5-1=0.5，
在△DEF中，EF²=DE²+DF²，即AF²=0.5²+（1-AF）²，解得AF＝

5

8

，
∴tan∠FGA＝

AF

AG

＝

1

2

．