已知椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,为离心率√6/3,ΔABC的顶点A,B,C在椭圆上,

题目

已知椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,为离心率√6/3,ΔABC的顶点A,B,C在椭圆上,
C在l:y=x+2上,且AB∥l
（1）椭圆方程
（2）当AB通过坐标原点,求AB的长及△ABC的面积
（3）当∠ABC＝90°,且AC最大时,求AB的直线方程

答案

（1）椭圆方程
设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
焦点在x轴上,长轴长为4,离心率√6/3
a=2
√(a^2-b^2)/a=√6/3
(2^2-b^2)/2^2=6/9
b^2=4/3
椭圆方程：x^2/4 + y^2/(4/3) = 1,或写作：x^2+3y^2-4=0
（2）当AB通过坐标原点,求AB的长及△ABC的面积
ΔABC的顶点A,B,C在椭圆上,C在l：y=x+2上,AB∥l,
AB所在直线斜率kAB=kI = 1
当AB通过坐标原点时,AB所在直线方程y=x,代入x^2+3y^2-4=0得x^2+3x^2-4=0,
x1=-1,x2=1
y1=-1,y2=1
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2}=2√2
∵I平行AB,C在I上,AB过原点,
∴ABC的高=原点到直线I的距离,h = a/√2 = 2/√2 = √2
∴三角形ABC面积=1/2|AB|*h = 1/2*2√2*√2 = 2
（3）当∠ABC＝90°,且AC最大时,求AB的直线方程
C在l：y=x+2上将y=x+2代入x^2+3y^2-4=0
x^2+3(x+2)^2-4=0
4x^2+12x+8=0
(x+2)(x+1)=0
x1=-2,x2=-1
y1=-2+2=0,y2=-1+2=1
C点坐标（-2,0）,或（-1,1）
∠ABC=90°,kBC=-1/kAB=-1/1 = -1
C点坐标（-2,0）时,BC所在直线方程y-0=-1(x-(-2)),即y=-x-2
将y=-x-2代入x^2+3y^2-4=0得,x^2+3(-x-2)^2-4=0,解得x1=-2,x2=-1
x=-2时即C点横坐标
∴B点横坐标x=-1,纵坐标y=-(-1)-2=-1,即B(-1,-1)
AB所在方程y-(-1)=1*(x-(-1)),即y=x
将y=x代入x^2+3y^2-4=0得4x^2=4,x=±1
x=-1是B点横坐标
∴A点横坐标x=1,纵坐标y=1,即A(1,1)
AC = √{(xA-xC)^2+(yA-yC)^2} = √{(1-(-2))^2+(1-0)^2} = √10
C点坐标（-1,1）时,BC所在直线方程y-1=-1(x-(-1)),即y=-x
将y=-x代入x^2+3y^2-4=0得,x^2+3x^2-4=0,x=±1
x=-1时即C点横坐标
∴B点横坐标x=1,纵坐标y=-1,即B(1,-1)
AB所在方程y-(-1)=1*(x-1),即y=x-2
将y=x-2代入x^2+3y^2-4=0得x^2+3(x-2)^2-4=0,4(x-1)(x-2)=0,x=1,或2
x=1是B点横坐标
∴A点横坐标x=2,纵坐标y=2-2=0,即A(2,0)
AC = √{(xA-xC)^2+(yA-yC)^2} = √{(2-(-1))^2+(0-1)^2} = √10
两种情况下AC长度相等
∴AB所在直线的方程：
C点坐标（-2,0）时,y=x
C点坐标（-1,1）时,y=x-2