已知实数abc满足a²+b²≤1/4c≤1,则a+b+c的最小值是

题目

已知实数abc满足a²+b²≤1/4c≤1,则a+b+c的最小值是

答案

a²+b²≤1/4c≤1
0≤c≤4
a²+b²≤1/4c
(a+b)²/4-(a²+b²)/2
=(a-b)²/4≥0
∴(a+b)²/4≤(a²+b²)/2≤1/8c
(a+b)²≤1/2c
∴-√(c/2)≤a+b≤√(c/2)
∴a+b+c≥c-√(c/2)
设√(c/2)=t
∵0≤c≤4 ∴t∈[0,√2]
且 c=2t²
∴c-√(c/2)=2t²-t=2(t-1/4)²-1/8
当t=1/4,c=1/8时,c-√(c/2)取得最小值-1/8
∴a+b+c≥c-√(c/2)≥-1/8
即a+b+c的最小值为-1/8