求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.

求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.

题目
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.
答案
(1)当过点A(1,2)的直线与x轴垂直时,
则点A(1,2)到原点的距离为1,所以x=1为所求直线方程.
(2)当过点A(1,2)且与x轴不垂直时,可设所求直线方程为y-2=k(x-1),
即:kx-y-k+2=0,由题意有
|-k+2|
k2+1
=1
,解得k=
3
4

故所求的直线方程为y-2=
3
4
(x-1)
,即3x-4y+5=0.
综上,所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0.
考虑两种情况:(1)斜率不存在即所求直线与y轴平行时,容易直线的方程;(2)斜率存在时,设出直线的斜截式,然后利用点到直线的距离公式列出原点到直线l的距离的方程,求出斜率k即可得到方程.

点到直线的距离公式.

此题为中档题,学生做题时容易少一种斜率不存在的情况,要求学生考虑问题要全面.应用分类讨论的数学思想解决数学问题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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