已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，其中p、q≠0，同时满足：①A∩B≠空集，②（CRB）∩A={-2}，求p，q的值．

题目

已知集合A={x|x²+px+q=0}，B={x|qx²+px+1=0}，其中p、q≠0，同时满足：①A∩B≠空集，②（C_RB）∩A={-2}，求p，q的值．

答案

设x₀∈A，则x₀≠0，否则将有q=0与题设矛盾．
于是由x₀²+px₀+q=0，两边同除以x₀²，得q(

1

x0

)2+

p

x0

+1＝0，
知

1

x0

∈B，故集合A、B中的元素互为倒数．
由①知存在x₀∈A，使得

1

x0

∈B，且x₀=

1

x0

，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，
则B={1，-

1

2

}，有

p＝−(1−2)＝1 q＝1×(−2)＝−2

同理，若A={-1，-2}，
则B={-1，-

1

2

}，得p=3，q=2．
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但-2∉B，A、B是两个方程的解集，方程x²+px+q=0和qx²+px+1=0的根的关系的确定是该题的突破口，求p、q的值．

本题考点：集合关系中的参数取值问题．

考点点评：本题考查了二次函数的性质及方程的根与系数的关系，考查了分类讨论的思想，考查的知识点比较全面，是一道中档题．