已知函数f(x)＝ax，(x＜0)(a−3)x+4a，(x≥0)满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（3，+∞） B.（0，1）

题目

已知函数f(x)＝

ax，(x＜0) (a−3)x+4a，(x≥0)

满足对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （3，+∞）
B. （0，1）
C. (0，

1

4

]
D. （1，3）

答案

∵f(x)＝

ax(x＜0) (a−3)x+4a(x≥0)

，对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＜0成立，
∴函数f（x）在定义域内单调递减，令g（x）=a^x，依题意，f（0）≤g（0），即4a≤1，
∴

0＜a＜1 a−3＜0 4a≤1

，解得0＜a≤

1

4

．
∴实数a的取值范围是0＜a≤

1

4

．
故选C．

由题意可知，0＜a＜1，且a-3＜0，且4a≤1，解之即得答案．

本题考点：指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数单调性的性质及其应用，理解“对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＜0成立⇔函数f（x）在定义域内单调递减”是关键，也是难点所在，考查解不等式组的能力，属于中档题．