从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

题目

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

答案

首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a₁＜a₂＜a_n是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，
对于这n个数中的任意4个数a_i，a_j，a_k，a_m，因为33|（a_i+a_k+a_m），33|（a_j+a_k+a_m），
所以33|（a_j-a_i），
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设a_i=a₁+33d_i，i=1，2，3，n，
由33|（a₁+a₂+a₃），得33|（3a₁+33d₂+33d₃），
所以33|3a₁，11|a₁，即a₁≥11，dn＝

an−a1

33

≤

2010−11

33

＜61，
故d_n≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61．