设m、n是一元二次方程ax平方+bx+c=0的两个根,求a（m的三次方+n的三次方）+b（m的平方+n的平方）+c（m+n）

题目

设m、n是一元二次方程ax平方+bx+c=0的两个根,求a（m的三次方+n的三次方）+b（m的平方+n的平方）+c（m+n）

答案

因为m、n分别是方程的两个根
所以有am²＋bm＋c＝0 1
an²＋bn＋c＝0 2
将1＋2得a(m²＋n²)＋b(m＋n)＋2c＝0将等式两边同乘以m＋n
得a(m²＋n²)(m＋n)＋b(m＋n)(m＋n)＋2c(m＋n)＝0
{a(m³＋n³)＋b(m²＋n²)＋c(m＋n)}＋{（m²n＋n²m)a＋2mnb＋(m＋n)c}＝0
{a(m³＋n³)＋b(m²＋n²)＋c(m＋n)}＋{mn（m＋n)a＋2mnb＋(m＋n)c}＝0
又因为m.n＝c/a m＋n＝-b/a
所以mn（m＋n)a＋2mnb＋(m＋n)c＝(c/a).(-b/a).a＋(2c/a).b＋(-b/a).c
＝-bc/a＋2bc/a-bc/a＝0
即a(m³＋n³)＋b(m²＋n²)＋c(m＋n)＋0＝0
所以a(m³＋n³)＋b(m²＋n²)＋c(m＋n)＝0