水从注满水半径为13m的半球形的水槽中流出，流速为0.6m3/s，当水深为8m时水位的变化率是多少？水面半径的变化率是多少？

题目

水从注满水半径为13m的半球形的水槽中流出，流速为0.6m3/s，当水深为8m时水位的变化率是多少？水面半径的变化率是多少？
PS:这就是原题....没图...........

答案

设y为水的体积,h为水位,R为球的半径,r为水面半径,v为流速,t为时间.
h对时间求导,得h'(t).r对时间求导,得r'(t).
y=(2πR^3)/3-vt ①
y=πh^2(R-h/3) ② (这个式子我不知道怎么得的)
r=√[R^2-(R-h)^2] ③ (√是开根号的意思)
联立①②,有(2πR^3)/3-vt =πh^2(R-h/3) ,两边对时间求导,有 -v=2πRhh'(t)
得h'(t)=-0.0009187 m/s
由③得r^2=R^2-(R-h)^2 ,两边对时间求导,有2rr'(t)=2Rh'(t)-2hh'(t)
而由③得r=12m,代入数据,得
r'(t)=-0.0003827 m/s