三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作角MDN=角B

题目

三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作角MDN=角B
（1）如图（1）当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形．
2）如图（2）,将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点（点E与点A不重合）,不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论
（3）在图（2）中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的1/4时,求线段EF的长．

答案

1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE．
证明：∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
又∵∠MDN=∠B,
∴△ADE∽△ABD,
同理可得：△ADE∽△ACD,
∵∠MDN=∠C=∠B,
∠B+∠BAD=90°,∠ADE+∠EDC=90°,
∠B=∠MDN,
∴∠BAD=∠EDC,
∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE,
∴△ADE∽△DCE,
（2）△BDF∽△CED∽△DEF,
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,
又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE,
由AB=AC,得∠B=∠C,
∴△BDF∽△CED,
∴BD /DF=EC/DE ．
∵BD=CD,
∴CD/DF=EC/DE ．
又∵∠C=∠EDF,
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD,过D点作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H．
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=1/2 BC=6．
在Rt△ABD中,AD²=AB²-BD²,
∴AD=8
∴S△ABC=1/2BC•AD=1/2 ×12×8=48．
S△DEF=1/4S△ABC=1/4 ×48=12．
又∵
1/2AD*BD=1/2 AB*DH,
∴DH=AD•BD /AB =8×6 /10 =24/5 ,
∵△BDF∽△DEF,
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF,DH⊥BF,
∴DH=DG=24 /5
∵S△DEF=1/2×EF×DG=12,
∴EF=12/(1/2DG ) =5．