如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一直线上,P是线段DF的中点连接PG,PC.若BD/AC=CE/BF=√3

题目

如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一直线上,P是线段DF的中点连接PG,PC.若BD/AC=CE/BF=√3
(1)请写出线段PG与PC所满足的关系,并加以证明.
（2）若将图1的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中其他条件不变,如图2,那么你在（1）中得到的结论是否发生变化,若没变,直接写出结论.若变化,直接写出结果
（3）若将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他角度不变,请猜想（1）中的结论有没有变化
B3%D1%A7%C9%FA%C9%FA/album/%C4%AC%C8%CF%CF%E0%B2%E1图自己放大

答案

1.垂直,√3
按照小聪的思路作完图之后,GF平行于AB平行于CD,P又是中点,角HDP=角GFP,角HPD=角GPE,P为中点,所以三角形HDP全等于三角形GFP,这样DH=GF,所以CH=CG,则有等腰三角形CHG,有P为HG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABCD角ABC=60度所以角DCB=120度 CP为角平分线,角PCG=60度PG:PC=√3
2.
应该还有二问:
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的结论是否会发生变化?写出你的猜想并加以证明.
（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝2a（0＜a＜90°）,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG：PC的值（用含a的式子来表示）,
（2） 结论不变.延长CP交AB于M,连CG,MG.因为P是DF重点,所以DC=MF,CP=MP.有MF=CD=BC.考虑三角形CGB与三角形MGF,有BC=MF,∠CBG=∠MFG=60°,BG=GF,因此两三角形全等.从而CG=MG,∠CGB=∠MGF.因为∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM,因此∠CGM=∠FGB=60°,又有CG=GM,所以三角形CGM是等边三角形,且P是CM中点,从而原结论在此也成立.
（3） 延长CP至M,使PM=PC,连MF交BG于N.易知CD‖MF‖AB.与上小问类似,可知MF=DC=BC,FG=BG.因为MF‖AB,有∠ABG=∠MNG,而∠ABG=∠ABC+∠CBG,∠MNG=∠BGF+∠GFM.因为∠ABC=∠BEF=∠BGF,所以∠CBG=∠MFG.又有BG=FG,MF=BC,所以三角形CBG与三角形MFG全等.因此与上小问类似,有CG=MG,∠CGM=∠FGB=2a.因此∠CGP=a且PG⊥PC,因此PG:PC=cot(a).