过抛物线y∧2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于P,Q两点,线段PQ的中垂线交抛物线对称轴于R,求‖PQ‖＝2‖FR‖

题目

过抛物线y∧2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于P,Q两点,线段PQ的中垂线交抛物线对称轴于R,求‖PQ‖＝2‖FR‖

答案

设P点坐标（x1,y1）Q（x2,y2）
由抛物线且PQ过焦点F得‖PQ‖＝‖PF‖+‖QF‖=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p
PQ的斜率为k=（y2-y1）/(x2-x1)=(y2-y1)/[(y2^2-y1^2)/2p]=2p/(y1+y2)
∴PQ中垂线斜率为-1/k=-(y1+y2)/2p
PQ中垂线方程为y-（y1+y2)/2=-(y1+y2)/2p[x-(x1+x2)/2]
交对称轴x轴的交点坐标R为 令y=0 解得x=（x1+x2）/2+p
‖FR‖=（x1+x2）/2+p-p/2=(x1+x2+p)/2
故‖PQ‖=2‖FR‖