抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）,C（0,-3）

题目

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）,C（0,-3）
（1）求y=ax²+bx+c解析式
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到B,C两点的距离之差最大?

答案

1]抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1,交x轴于A,B(3,0)两点,交y轴于点C(0,-3),∴A(-1,0)
可设y=ax²+bx+c解析式为：y=a(x+1)(x-3),过C(0,-3),∴a=1
故y=ax²+bx+c解析式为：y=(x+1)(x-3)＝x²-2x-3
2]设在抛物线的对称轴上存在一点P（1,y0）,使点P到B,C两点的距离之差最大,则
作C(0,-3)关于对称轴的点D(1,-3)
连接BD并延长交对称轴的点即所求P(1,y0)
可证,P到B,C两点的距离之差最大证：在对称轴上另取一点P1,因为PB-PC=PB-PD=BD
又三角形P1BD中,恒有P1B-P1D=P1B-P1C