m阶方阵A正定,B为m×n实矩阵,证明,BTAB正定的充要条件是r(b)＝n

题目

m阶方阵A正定,B为m×n实矩阵,证明,BTAB正定的充要条件是r(b)＝n

答案

B^TAB正定等价于对于任意n×1的非零矩阵x有x^TB^TABx>0,即(Bx)^TA(Bx)>0.
注意A正定,因此当Bx≠0时(Bx)^TA(Bx)>0,但Bx=0时(Bx)^TA(Bx)=0,即(Bx)^TA(Bx)>0等价于Bx≠0,即Bx=0没有非零解.这等价于r(B)＝n.