用罗尔定理证方程x^3-3x+1=0在（0,1）内有且只有一个实根

题目

用罗尔定理证方程x^3-3x+1=0在（0,1）内有且只有一个实根
一定要用罗尔啊

答案

设f(x)=x^3-3x+1
则,f(0)=1＞0
f(1)= -1＜0
根据零点定理,
f(x)在（0,1）内至少有一个零点.


下面证明唯一性,用反证法：
假设f(x)在（0,1）内至少有两个零点a＜b,
因为f(a)=f(b)=0
f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的三个条件,
根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b)
使得：f '(ξ)=0
f '(ξ)=3ξ^2-3=3(ξ^2-1)＜0
所以,f '(ξ)=0不成立,矛盾.
所以假设f(x)在（0,1）内至少有两个零点错误.


于是,f(x)在（0,1）内只有一个零点.


即方程在（0,1）内只有一个实根,