把2010拆成若干个连续自然数之和,共有多少种拆法?

题目

把2010拆成若干个连续自然数之和,共有多少种拆法?

答案

设这些连续自然数最小的是a,最大的是b
(b+a)(b-a+1)/2=2010
(b+a)(b-a+1)=2*2*3*5*67
b+a 若是奇数,则b-a必是奇数,b-a+1必是偶数
b+a 若是偶数,则b-a必是偶数,b-a+1必是奇数
考虑到 b+a > b-a+1,分别可能取值如下：
67 2*2*3*5
2*67 2*3*5 （同为偶数,不成立）
3*67 2*2*5
2*2*67 3*5
5*67 2*2*3
2*3*67 2*5 （同为偶数,不成立）
2*2*3*67 5
3*5*67 2*2
2*2*5*67 3
满足一奇一偶的情况有七种,分别解得 b 和 a 的值如下：
63...4
110...91
141...127
173...162
404...400
504...501
671...669
所以,2010 拆成若干个连续自然数之和共有 7 种拆法