正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,满足A1N=1/3NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心

题目

正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,满足A1N=1/3NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心
求证：MN垂⊥MC,MP⊥B1C

答案

（几何类题多是要添辅助线,证垂直的多用三垂线定理）
证明：连接BM,
∵ABCD-A1B1C1D1是正方形.
∴CB⊥面BAA1B1.
∴BM是MC在面BAA1B1的投影.
∵A1N=1/3NB1
∴A1N=1/4AB1=1/4AA1=1/2AM
∵MA=1/2AB
∴三角形ABM相似于三角形A1MN
∴角AMN与角BMA互余
∴BM⊥MN
∴MC⊥MN（三垂线定理）
（证明MP⊥B1C,也可以用三垂线定理,添辅助线办法很多,
1,你可以取AD中点E,连接ME,取A1D1中点F,连接MF,PF,可由三垂线定理推出MP⊥ME,再由MP⊥ME和ME//B1C推出MP⊥B1C
2,连接A1D,A1D//B1C,通过三垂线证MP⊥A1D即可
还有很多种添法,你可以自己尝试一下）