如图，△ABC的三边长分别是AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长．

题目

如图，△ABC的三边长分别是AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长．

答案

延长BP交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠EAP，
∵BP⊥AD于D，
∴∠APB=∠APE=90°，
在△APB和△APE中，

∠BAP＝∠EAP AP＝AP ∠APB＝∠APE＝90°

，
∴△APB≌△APE（ASA），
∴AB=AE=14，
∵AC=26，
∴EC=26-14=12，
∵△APB≌△APE，
∴BP=EP，
∵M是BC的中点，
∴PM=

1

2

EC=

1

2

×12=6．

延长BP交AC于点E，首先证明△APB≌△APE，可得AB=AE=14，PE=PB，进而得到EC=12，再根据三角形中位线定理可以计算出PM=

1

2

EC=6．

本题考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，关键是证明出△APB≌△APE，得到AB=AE=14，PE=PB．