圆锥曲线 已知F1,F2为双曲线x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过F2作双曲线的渐近线的垂线

题目

圆锥曲线 已知F1,F2为双曲线x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过F2作双曲线的渐近线的垂线
垂足为P则PF1^2-PF2^2等于 （ ）
A、4a^2 B、4b^2 C3a^2+b^2 D、a^2+3b^2

答案

已知F₁,F₂为双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点,过F₂作双曲线的渐近线的垂线,垂足为P则PF₁²-PF₂²等于 （ ）A、4a²； B、4b²； C、3a²+b²； D、a²+3b²；
由F₂(c,0)向渐近线y=(b/a)x作垂直线,则此垂直线的方程为y=-(a/b)(x-c)；
令(b/a)x=-(a/b)(x-c),解得x=(ac/b)[ab/(a²+b²)]=a²/c,即垂足P点的坐标为（a²/c,ab/c)；
故PF₁²-PF₂²=[(a²/c+c)²+(ab/c)²]-[(a²/c-c)²+(ab/c)²]=(a²/c+c)²-(a²/c-c)²=(2a²/c)(2c)=4a²；
故应选A.