若A为抛物线Y=1/4X^2的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B,C两点,则向量AB*AC=?

题目

若A为抛物线Y=1/4X^2的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B,C两点,则向量AB*AC=?

答案

抛物线方程化为：
x²＝4y
则焦点坐标为(0,1),A点坐标为(0,0)
设B(x1,y1),C(x2,y2)
设直方程为y＝kx＋1
联立｛y＝kx＋1
｛x²＝4y
得x²－4kx－4＝0
∴x1＋x2＝4k,x1*x2＝－4
∴y1*y2＝1/4x1²*1/4x2²＝1/16*(x1*x2)²＝1
∴AB*AC＝(x1,y1)*(x2,y2)＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3