函数f(x)＝x2+1+(4−x)2+4的最小值是_．

题目

函数f(x)＝

x2+1

+

(4−x)2+4

的最小值是______．

答案

如图，作线段AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=1，BD=2，
对于AB上的任意一点O，令OA=x，则
OC=

x2+1

，OD=

(4−x)2+4

，
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O．此时，OC+OD=OE+OD=DE，
作EF∥AB与DB的延长线交于F，
在Rt△DEF中，易知EF=AB=4，DF=3，
所以DE=5，
因此，函数f(x)＝

x2+1

+

(4−x)2+4

的最小值是5．
故答案为：5．

显然，若x＜0，则f（x）＞f（-x）．因而，当f（x）取最小值时，必然有若x≥0，可作线段AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=1，BD=2．对于AB上的任意一点O，令OA=x，则OC=

x2+1

，OD=

(4−x)2+4

，那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小．

本题考点：轴对称-最短路线问题．

考点点评：本题考查了函数的最值问题，解题的关键是将最值问题转化为轴对称-最短路线问题．