在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量m=（cosA，cosB）、n=（2c+b，a），且m⊥n．（1）求角A的大小；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

题目

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cosB）、

n

=（2c+b，a），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

答案

（1）∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=(cosA，cosB)•(2c+b，a)=(2c+b)cosA+acosB=0
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，
整理可得sinC+2sinCcosA=0．
∵0<C<π，sinC>0，
∴cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

；
（2）由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即16=b²+c²+bc≥3bc，
故bc≤

16

3

．
故△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

4 3

3

，
当且仅当b=c=

4 3

3

时，△ABC面积取得最大值

4 3

3

．

（1）利用数量积之间的关系，结合两角和的三角函数的公式，即可求角A的大小；
（2）若a=4，根据余弦定理，结合三角形的面积公式，即可求△ABC面积的最大值．

本题考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理以及两角和差的三角公式是解决本题的关键．