设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,

题目

设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,
使 f(a)=1.求证：（1）f(x)是奇函数；（2）f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.

答案

(1)
f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]
设x=x1-x2
f(-x)=f(x2-x1)=[f(x2)f(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)]
=-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)
f(a)=1,f(-a)=-1
f(x-a)=[f(x)+1]/[1-f(x)]
f(x+a)=[-f(x)+1]/[-1-f(x)]=[f(x)-1]/[1+f(x)]=-1/f(x-a)
f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a-a)=-1/f(x)
f(x-a)=-1/f(x+a)
f(x-2a)=f(x-a-a)=-1/f(x-a+a)=-1/f(x)
∴f(x+2a)=f(x-2a)
∴f(x)是周期函数,4a是一个周期