求微分方程通解dy/dx=(x-2y+1)/(2x+3y+2)

题目

求微分方程通解dy/dx=(x-2y+1)/(2x+3y+2)

答案

这是典型的可化为齐次方程的方程
dy/dx=(x-2y+1)/(2x+3y+2)=((x+1)-2y)/(2(x+1)-3y)
设u=y/(x+1),y=u(x+1),y'=u'(x+1)+u
u'(x+1)+u=(1-2u)/(2-3u)
u'(x+1)=(1-2u)/(2-3u)-u=(3u^2-4u+1)/(2-3u)
分离变量得：
(2-3u)du/(3u^2-4u+1)=dx/(x+1)
积分得通ln(3u^2-4u+1)=2ln(x+1)-lnC
(x+1)^2(3u^2-4u+1)=C
(x+1)^2(3y^2/(x+1)^2-4y/(x+1)+1)=C
或：3y^2-4y(x+1)+(x+1)^2=C