三角形外接圆的半径有公式么?

题目

三角形外接圆的半径有公式么?
不涉及三角函数之类的公式,直角三角形外接圆的半径有没有公式?

答案

直角三角形的外心（即三边垂直平分线交点）在斜边的中点上,因此直角三角形的外接圆半径就等于斜边的一半
三角形三边为 a、b、c
半周长 p=(a+b+c)/2
三角形面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] （海伦公式）
内切圆半径 r = S/p
=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p]
= ½√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)]
外接圆半径 R= abc/(4S)
= ¼ abc/√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
= abc/√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
R、r、S 关系
rR = S/p * abc/(4S) = abc/[2(a+b+c)]