已知三次函数f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（x）≤|2m-1|对任意

题目

已知三次函数f（x）=x³+ax²-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）f'（x）=3x2+2ax-6  …（1分）由导数的几何意义，f'（1）=-6∴a=-32 …（2分）∵f（0）=1∴b=1  …（3分）∴f（x）=x3-32x2-6x+1  …（4分）（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1...

（1）先求函数的导数，进而根据f'（1）=-6求出a的值，然后根据f（0）=1，求出b的值即可求出函数的解析式；
（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间（-2，2）内的最大值，再解不等式即可．

本题考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评：本题的考查了导数的几何意义、导数的求法以及函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．