f(x)=2^x展成麦克劳林级数是?

题目

f(x)=2^x展成麦克劳林级数是?

答案

f '(x)=ln2 * 2^x
f ''(x)= (ln2)^2 * 2^x
……
f(x)的n阶导数 = (ln2)^n * 2^x,
所以当x=0时,2^x=1,
故 f (0)=1,f '(0)=ln2,f "(0)=(ln2)^2…… f (n) (0)=(ln2)^n,
故f(x)=2^x展成麦克劳林级数,
f(x)=f(0) +f '(0) x +f "(0) x^2 /2!+ f "'(0) x^3 /3!+……+ f(n) (0) x^n /n!+Rn(x)
=1 +ln2 *x +(ln2)^2 * x^2/2!+ (ln2)^3 * x^3 /3!+……+ (ln2)^n * x^n /n!+Rn(x)
其中Rn(x)为余项