已知函数f(x)=x立方-3ax-1,a不等于0

题目

已知函数f(x)=x立方-3ax-1,a不等于0
求f(x)的单调区间
问题二若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围

答案

(1) ∵f(x)＝x ³ －3ax－1
∴ f′(x)＝3x²－3a
当a＜0时,f′(x)＝3x²－3a＞0 即f′(x)＞0恒成立
∴ f(x)在（﹣∞,﹢∞）内单调递增函数.
当a＞0时,令f′(x)＝0,则x＝±√a
∴f(x)在（﹣∞,﹣√a）和（﹢√a,﹢∞）内单调递增函数；
f(x) 在（﹣√a,﹢√a）内是单调递减函数.
（2）∵ f(x)在x＝﹣1处取得极值
∴f′(﹣1)＝0 即 3－3a＝0
∴ a＝1
∴ f(x)＝x ³ －3x－1
∴ f′(x)＝3x²－3
令f′(x)＝0 则 3x²－3＝0
∴x＝﹣1或x＝1
∴f(x)在（﹣∞,﹣1）单调递增,在（﹣1,1）内单调递减
∴f(x)在x＝﹣1处取得极大值,即 f(﹣1)＝1
又∵ f(x)在（﹣1,1）内单调递减 ,在（1,﹢∞）内单调递减.
∴f(x)在x＝1处取得极小值,即 f(1)＝﹣3
∵ 直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点
∴根据图象可知：﹣3＜m＜1
故m的取值范围为﹣3＜m＜1