如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F. (1)求证:直线DE是⊙O的切线; (2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.

如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F. (1)求证:直线DE是⊙O的切线; (2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.

题目
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.
答案
(1)证明:如图,连接OD,BD(1分)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠90°,
∴BD⊥AC;(2分)
∵AB=BC,
∴AD=DC;(3分)
∵OA=OB,
∴OD∥BC,(5分)
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD.
∴直线DE是⊙O的切线.
(2)作DH⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E=90°,
又DE⊥OD,
∴∠ODH+∠EDH=90°.
∴∠E=∠ODH.
∵AD=DC,AC=8,
∴AD=4.
在Rt△ADB中,BD=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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