已知定义在R上的函数f(x)=ax的3次方-2bx平方+cx+4d的图像关于原点对称.且x=1时.f(x)取得极小值-2/5

题目

已知定义在R上的函数f(x)=ax的3次方-2bx平方+cx+4d的图像关于原点对称.且x=1时.f(x)取得极小值-2/5
1.求f（x）的解析式.2.当X属于[-1.1]时.函数图像上是否存在2点.使得这2点处的切线互相垂直?3.设X1∈[-1.1].求证|f（x1）-f（x2)|≤4/5

答案

（1）f(x)的图像关于原点对称,它是奇函数
所以 b=0,d=0
f(x)=ax³+cx
f'(x)=3ax²+c
f'(1)=3a+c=0 (1)
f(1)=a+c=-2/5 (2)
解方程,得 a=1/5,c=-3/5
f(x)=x³/5 -3x/5
(2) f'(x)=3x²/5-3/5
假设存在这样的两点,横坐标分别为x1,x2
则f'(x1)f'(x2)=-1
(9/25) (x1²-1)(x2²-1）=-1
因为 x1²-1≤0,x2²-1≤0,
(9/25) (x1²-1)(x2²-1）≥0,不可能等于-1
所以,函数图像上不存在2点.使得这2点处的切线互相垂直；
（3）f'(x)=3x²/5-3/5=（x²-1）*(3/5)≤0恒成立
所以 f(x)在【-1,1】上递减
最小值为f(1)=-2/5
最大值为f(-1)=2/5
|f（x1）-f（x2)|≤f(x)最大值-f(x)最小值=2/5-(-2/5)=4/5
命题成立