设a为任意有理数,b为何值时有理系数方程有有理根

题目

设a为任意有理数,b为何值时有理系数方程有有理根
设a为任意有理数,b为何值时有理系数方程2x^2+(a+1)x-(3a^2-4a+b)=0的根是有理数
Δ=(a+1)^2-4*2*[-(3a^2-4a+b)]
=a^2+2a+1+24a^2-32a+8b
=25a^2-30a+8b+1
=(5a-3)^2+8b-8
因为根是有理数,a为任意有理数
所以8b-8=0
所以
b=1
或
设 25a^2-30a+8b+1=k^2
b=(k^2-25a^+30a-1)/8
因为k为有理数a为有理数 所以k^2-25a^+30a-1为有理数
有理数除以有理数还为有理数,所有b为任意有理数
请问那个答案错 为什么
不能说因为第一个对就说第二个错，必须详细说为什么 第二个也有道理
a与k也都可以取任意有理数，b也是任意的啊
代数到第二种解法肯定是错的 但否掉这种解法不能只代数 第二种解法还是有道理的
他本身是不成立的 要证明第二种解法没道理

答案

第二种解法从 b=(k^2-25a^+30a-1)/8 以下开始有错
设 25a^2-30a+8b+1=k^2……（1）的本质是想说明25a^2-30a+8b+1能够算出一个
有理数的平方,
忽略了：
（1）a是任意的有理数,即a是可变的,b是存在的,即b是待定常数,那么等式左边为与a相关的变量,所以等式右边k^2也是与a有关的变量
（2）k^2>=0对等式左侧的限制,即25a^2-30a+8b+1>=0对任意有理数a恒成立,至少可解出b>=1
设 25a^2-30a+8b+1=k^2,则k^2也是与a有关的变量,所以设k=ma+n
m,n为有理数,则25a^2-30a+8b+1=(ma+n)^2=m^2*a^2+2mna+n^2
即m^2=25,2mn=-30,n^2=8b+1,
由2mn=-30,得m^2*n^2=225,又m^2=25,所以n^2=9,所以b=1