y=x/1+x^2 单调区间 极值 凹凸区间 拐点

题目

y=x/1+x^2 单调区间 极值 凹凸区间 拐点

答案

∵y'=(1-x²)/(1+x²)²
令y'=0,得x=±1
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,y'<0,即单调递减；
当x∈(-1,1)时,y'>0,即单调递增.
∴(-∞,-1)与(1,+∞)是单调递减区间,(-1,1)是单调递减区间.
x=-1是极小值点,x=1是极大值点.
∵y''=2x(x²-3)/(1+x²)³
令y''=0,得x=0,或x=±√3
当x∈(-∞,-√3)∪(0,√3)时,y''<0,即y是凸；
当x∈(-√3,0)(√3,+∞)时,y''>0,即y是凹.
∴x=0和x=±√3都是拐点.