在三角行ABC中,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a)与向量n=(cosB,b)平行

题目

在三角行ABC中,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a)与向量n=(cosB,b)平行
1.求sinC/sinA的值
2.若bcosA+ccosB=1,三角形ABC周长为2 求b的长

答案

(1)
∵向量m=(cosA-2cosC,2c-a)与向量n=(cosB,b)平行
∴b（cosA-2cosC)-(2c-a)cosB=0
根据正弦定理：
sinB(cosA-2cosC)-(2sinC-sinA)cosB=0
整理：
(sinBcosA+cosBsinA)=2(sinBcosC+cosBsinC)
即sin(A+B)=2sin(B+C)
∴sinC=2sinA
∴sinC/sinA=2
(2)
∵sinC=2sinA
∴c=2a ①
∵bcosA+ccosB=1
,根据余弦定理：
b*(b²+c²-a²)/(2bc)+c*(a²+c²-b²)/(2ac)=1
即(b²+c²-a²)/(2c)+(a²+c²-b²)/(2a)=1
∴(b²+c²-a²)/(4a)+(a²+c²-b²)/(2a)=1
∴a²+3c²-b²=4a ②
又a+b+c=2 ③
b=2-3a
13a²-(2-3a)²=4a
a²+2a-1=0
解得a=√2-1
b=2-3(√2-1)=5-3√2