已知球的半径为R,球内接圆柱底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?

题目

已知球的半径为R,球内接圆柱底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?

答案

由题意知球心在内接圆柱轴上高的中点,则有：
R²=r²+(h/2)²即h²＝4R²-4r²
以下用基本不等式来求体积最大值
因为内接圆柱的体积V=πr²h,即V²=π²r²r²h²
所以V²=π²r²r²(4R²-4r²)
＝π²/4 *(2r²)(2r²)(4R²-4r²)
又(2r²)(2r²)(4R²-4r²)≤{[(2r²)+(2r²)+(4R²-4r²)]/3}³=64(R²)³/27 (当且仅当2r²＝4R²-4r²即3r²＝2R²时取等号）
所以当r=√6*R/3,h=2√3*R/3时,V²有最大值π²/4 ×64(R²)³/27＝16π²(R²)³/27
即内接圆柱的体积有最大值：4√3×πR³/9