如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边BD、AC的中点. (1)求证:MN⊥AC; (2)当AC=8cm,BD=10cm时,求MN的长.

如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边BD、AC的中点. (1)求证:MN⊥AC; (2)当AC=8cm,BD=10cm时,求MN的长.

题目
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边BD、AC的中点.

(1)求证:MN⊥AC;
(2)当AC=8cm,BD=10cm时,求MN的长.
答案
(1)证明:连接AM、MC.
在△DCB和△BAD中,∠DAB=∠DCB=90°,M是边BD的中点,
∴AM=MC=
1
2
BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);
∵N是AC的中点,
∴MN⊥AC;
(2)∵AC=8cm,BD=10cm,M、N分别是边BD、AC的中点.
∴AM=5cm,AN=4cm;
在Rt△AMN中,MN=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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