若n阶方阵A与B满足AB+A+B=E（E为单位矩阵）.证明（1）B+E为可逆矩阵（2)(B+E)^(-1)=1/2(A+B)`

题目

若n阶方阵A与B满足AB+A+B=E（E为单位矩阵）.证明（1）B+E为可逆矩阵（2)(B+E)^(-1)=1/2(A+B)`
第二问是(B+E)^(-1)=1/2(A+E)

答案

证：
∵AB+A+B=E
∴AB+A+B+E=2E
A(B+E)+(B+E)=2E
(A+E)(B+E)=2E
[(A+E)/2](B+E)=E
利用逆矩阵的定义可知：
(B+E)^(-1)=(A+E)/2
证毕!
【最后是(A+E)/2,抄错题了吧?】